Loading...

Логико-математические основы начального курса математики

  • Правило заключения (A(x)⇒B(x), A(a) / B(a))

    • В нем обозначены две посылки A(x) ⇒ B(x) и A(a). Первую называют общей посылкой, это может быть теорема, определение и, вообще, предложение вида A(x) ⇒ B(x). Вторую посылку A(a) называют частной, она получается из условия A(x) при x = a. Предложение B(а) – это заключение, оно получается из B(x) при x = a. Посылки отделены от заключения чертой, которая заменяет слово «следовательно»

      • Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения: если запись числа x оканчивается цифрой 5, то число x делится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5.

        • В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение вида «Если A(x), то B(x)», где A(x) – это «Запись числа x оканчивается цифрой 5», а B(x) – «Число x делится на 5». Частная посылка представляет собой высказывание, которое получилось из условия общей при x = 135 (т.е. это A(135)). Заключение является высказыванием, полученным из B(x) при x = 135 (т.е. это B(135)).

    • примеры использования

      • Условие: A = «Данный треугольник ABC — равносторонний (AB, BC, CA — его стороны)». B = «Если треугольник равносторонний, то все его стороны равны».

      • Если запись числа х оканчивается четной цифрой , то число х делится на 2». «Запись числа 24 оканчивается цифрой четной цифрой». Следовательно: «Число 24 делится на 2

  • Математические понятия

    • Объем и содержание понятия

      • Свойства объекта

        • Существенные свойства - свойства, присущие объекту и без него они не могут существовать.

          • пример: квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства

        • Несущественные свойства - это свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта

          • пример: несущественно для квадрата ABCD свойство: «сторона AD горизонтальна». Если квадрат повернуть, то сторона AD окажется расположенной по-другому (рис. 1). Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект, надо знать его существенные свойства.

      • Объем понятия - множество всех объектов, которые обобщаются в понятии и обозначаются одним термином

        • пример: объем понятия «прямоугольник» - это множество различных прямоугольников

      • Содержание понятия – множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии

        • пример: содержание понятия «прямоугольник» - свойства прямоугольника: «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

    • Отношение между понятиями

      • Если A ⊂ B (A ≠ B), то говорят, что понятие a – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию a.

        • пример: если a – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы A и B находятся в отношении включения (A ⊂ B и A ≠ B), поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» – видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» – родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

      • Отношение рода и вида между понятиями

        • понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому.

          • пример: понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник»

        • для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий.

          • пример: так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм»

        • видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия

          • пример: квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику

      • Если A = B, то говорят, что понятия a и b тождественны

        • пример: тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник», так как их объемы совпадают.

      • Понятия при­нято обоз­на­чать строчными бук­ва­ми ла­тин­ско­го алфавита: a, b, c, …, z.

        • пример: пусть заданы два понятия a и b. Объемы их обозначим соответственно A и B.

    • Определение – логическая операция, с помощью которой раскрывается содержание понятия либо устанавливается значение термина

      • Явные определения – это определение, в котором одно понятие (определяемое) полностью идентифицируется с помощью другого понятия (определяющего)

        • Запись a ⇔ b читается: «a равносильно b по определению», или «a тогда и только тогда, когда b»

        • Видовое отличие – свойства (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия

      • Неявное определение – это определение, в котором отношение тождества между определяемым и определяющим понятиями не является прямым и однозначным

        • В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается либо через отрывок текста, либо через контекст, либо через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия

          • пример: контекстуальным определением может быть определение уравнения и его решения .

        • Остенсивные определения – определения, раскрывающие существенные признаки предметов путем их предъявления, показа.

          • пример: таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства

    • Правила определения понятий

      • Определение должно быть соразмерным

        • пример: несоразмерно такое определение квадрата: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны». Действительно, объем определяемого понятия – множество квадратов. Объем определяющего понятия – множество четырехугольников, все стороны которых равны, а это множество ромбов. Но не всякий ромб есть квадрат, т.е. объемы определяемого и определяющего понятий не совпадают, и, следовательно, данное определение несоразмерно

      • Определение должно быть ясным.

        • пример: нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено

      • В определении (или их системе) не должно быть порочного круга

        • пример: содержит порочный круг определение: «Равные треугольники – это треугольники, которые равны»

      • Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные правила, можно по-разному

        • пример: квадрат можно определить так:
          а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны.
          б) прямоугольник, у которого диагонали взаимноперпендикулярны.
          в) ромб, у которого есть прямой угол.
          г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые

  • Математические предложения

    • Высказывание – предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно. (пример: предложения 1, 2, 4, 5 и 6, приведенные выше, есть высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6 – истинные, а 2 – ложное)

      • Виды высказываний

        • Простые (элементарные) высказывания – это утверждения, которые не могут быть разбиты на более простые части и имеют однозначное истинностное значение (истинно или ложно).

          • пример: «2 + 2 = 4» (истинно) «3 является четным числом» (ложно)

        • Сложные (составные) высказывания формируются из простых высказываний с помощью логических операций. Они могут содержать несколько простых высказываний и могут быть истинными или ложными в зависимости от истинностных значений входящих в них простых высказываний.

          • пример: «2 + 2 = 4 и 3 является четным числом» (ложно, так как одно из простых высказываний ложно) «5 > 3 или 2 + 2 = 5» (истинно, так как одно из простых высказываний истинно)

      • Высказывательные формы (предикаты) – это выражения, содержащие переменные, которые становятся высказываниями (то есть, предложениями, истинность или ложность которых можно определить) после того, как все переменные заменены конкретными значениями из заданной области определения или это предложения, которые содержат одну или несколько переменных, истинность которых зависит от значений этих переменных.

        • пример: x + 5 = 8 – одноместная высказывательная форма, а предложение «Прямая x параллельна прямой y» – двухместная.

      • Высказывания с кванторами

        • Выражение «для всякого x» в логике называют квантором общности по переменной x (переменная может быть обозначена и другой буквой).
          Квантор общности обозначают символом ∀x.
          Запись (∀x) [A(x)] означает: «Для всякого значения x предложение A(x) – истинное высказывание».

          • Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример

            • Истинность высказывания с квантором существования устанавливается с помощью конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.
              Заметим, что убедиться в ложности высказывания – значит опровергнуть его.

    • Логические операции – это операции, которые применяются к логическим высказываниям и приводят к логическому результату (истина или ложь)

      • Основные виды логических операций

        • Конъюнкция (логическое умножение) – истинна, только если оба высказывания истинны.
          Логическая связка: «и»
          Обозначение: ∧, &, *, AND
          Высказывание: «A и B»

        • Дизъюнкция (логическое сложение) – истинна, если хотя бы одно из высказываний истинно.
          Логическая связка: «или»
          Обозначение: ∨, +, OR
          Высказывание: «A или B»

        • Инверсия (логическое отрицание) – изменяет значение высказывания на противоположное.
          Логическая связка: «не»
          Обозначение: ¬, Ā, NOT
          Высказывание: «не A»

        • Импликация (логическое следование) – ложна, только если первое высказывание истинно, а второе ложно.
          Логическая связка: «если…, то»
          Обозначение: →, ⇒
          Высказывание: «Если A, то B»

        • Эквиваленция (равносильность, логическое тождество) – истинна, если оба высказывания имеют одинаковое значение (оба истинны или оба ложны).
          Логическая связка: «тогда и только тогда»
          Обозначение: ↔, ⇔, =, ~
          Высказывание: «A тогда и только тогда, когда B»

      • Таблица истинности – это математический инструмент, используемый в математической логике для определения истинностного значения сложного высказывания (формулы) для всех возможных комбинаций истинностных значений составляющих его простых высказываний (пропозиций)

        • Столбцы
          Каждый столбец соответствует простой пропозиции или подвыражению сложного высказывания.

        • Строки
          Каждая строка представляет собой одну из возможных комбинаций истинностных значений простых пропозиций (простых высказываний).

          • Количество строк в таблице истинности зависит от числа логических переменных (A, B, C, и т.д.), используемых в логическом выражении.

            • Таблицы с 4 строками используются для логических выражений, содержащих две логические переменные (например, A и B). Количество возможных комбинаций истинностных значений для двух переменных равно 2² = 4.

            • Таблицы с 8 строками используются для логических выражений, содержащих три логические переменные (например, A, B и C). Количество возможных комбинаций истинностных значений для трех переменных равно 2³ = 8.

        • Значения
          В каждой ячейке таблицы указывается истинностное значение (Истина (1) или Ложь (0)) соответствующего высказывания или подвыражения для данной комбинации истинностных значений простых пропозиций. Данные значения вычисляются по правилам логических операций (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание импликация, эквиваленция).

      • Конъюнкцией высказываний A и B называют высказывание A ∧ B, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.
        Конъюнкцию высказываний A и B обозначают A ∧ B.

        • пример: используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «Число 28 делится на 7 и на 9», которое, как было установлено ранее, состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т.е. является конъюнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно определению конъюнкции, высказывание «Число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным

      • Дизъюнкцией высказываний A и B называют высказывание A ∨ B, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.
        Дизъюнкцию высказываний A и B обозначают A ∨ B

        • пример: найдем значение истинности высказывания «Число 28 делится на 7 или на 9». Так как это предложение является дизъюнкцией двух высказываний, одно из которых истинно, то, согласно определению, оно истинно.
          Из определения дизъюнкции следует, что в математике союз «или» используют как неразделительный, т.е. допускается возможность одновременного выполнения обоих условий. Так, высказывание «15 кратно 3 или 5», согласно определению, считают истинным, поскольку оба высказывания «15 кратно 3» и «15 кратно 5» истинны

      • Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

        • Конъюнкцию одноместных высказывательных форм A(x) и B(x), заданных на множестве X, обозначают A(x) ∧ B(x).

        • Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм A(x) и B(x), заданных на множестве X, обозначают A(x) ∨ B(x).

      • Отрицанием высказывания A называют высказывание ¬A (Ā), которое ложно, если высказывание A истинно, и истинно, если высказывание A – ложно.
        Отрицание высказывания A обозначают ¬A (Ā).

        • пример: построим отрицание ложного высказывания «Число 28 делится на 9»:
          1. число 28 не делится на 9;
          2. неверно, что число 28 делится на 9.

      • Эквиваленцией высказываний A и B называют высказывание A ⇔ B, которое истинно, когда оба высказывания A и B одновременно истинны или одновременно ложны (в остальных случаях эквиваленция ложна).
        Эквиваленцию высказываний A и B обозначают A ⇔ B.

        • пример: найдем значение истинности высказывания «12 делится на 4 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и является четным». Так как это предложение является эквиваленцией. Оба высказывания истины.

      • Импликацией высказываний A и B называют высказывание A ⇒ B, которое ложно только тогда, когда A истинно, а B ложно (во всех остальных случаях импликация истинна).
        Импликацию высказываний A и B обозначают A ⇒ B.

        • пример: найдем значение истинности высказывания «Если запись числа оканчивается цифрой 6, то число делится на 2». По всей ви­димос­ти, это выс­ка­зыва­ние ис­тинное. Всякое число, запись которого оканчивается цифрой 6, – четное, а всякое четное число делится на 2. Следовательно, число, запись которого оканчивается цифрой 6, делится на 2. 

    • Решение задач на распознавание объектов

      • В задачах на распознавание требуется ответить на вопрос: «Принадлежит тот или иной объект объему данного понятия или не принадлежит».

        • пример: такой задачи может быть следующая: «Установите, какие из фигур являются квадратами, а какие нет» (см. рис.)

    • Законы логики

      • Закон исключенного третьего
        A ∨ ¬A ≡ Истина (высказывание или его отрицание всегда истинно)

      • Закон противоречия
        A ∧ ¬A ≡ Ложь (высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными)

      • Закон двойного отрицания (двойное отрицание равно утверждению)
        ¬¬A ≡ A

      • Закон тождества (всякое высказывание тождественно само себе)
        A ≡ A 

      • Законы нуля
        A ∧ 0 ≡ 0
        A ∨ 0 ≡ A

      • Законы единицы
        A ∧ 1 ≡ A
        A ∨ 1 ≡ 1

      • Закон поглощения
        A ∧ (A ∨ B) ≡ A
        A ∨ (A ∧ B) ≡ A

      • Законы коммутативности (порядок сопрягаемых высказываний не важен)
        A ∧ B ≡ B ∧ A
        A ∨ B ≡ B ∨ A

      • Законы ассоциативности (скобки можно расставлять произвольно)
        (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C)
        (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)

      • Законы идемпотентности (повторение одного и того же высказывания не меняет результата)
        A ∧ A ≡ A
        A ∨ A ≡ A

      • Законы дистрибутивности
        A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
        A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

      • Законы исключения импликации (импликация эквивалентна дизъюнкции отрицания первого высказывания и второго)
        A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B

      • Закон контрапозиции (изменение порядка и отрицание обоих высказываний)
        A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A

      • Закон исключения эквиваленции
        A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
        A ⇔ B ≡ (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)
        A ⇔ B ≡ (A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B)

      • Законы де Моргана
        ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
        ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

    • Структура теоремы. Виды теорем

      • Теорема – высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).

      • Рассмотрим теперь теорему: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник – равнобедренный». Оно, как известно, истинное и поэтому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

      • Например, предложение, противоположное теореме «Если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны», будет ложным: «Если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».
        В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

  • Математические доказательства

    • Умозаключение – форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, выводится высказывание, содержащее новое знание, называемое заключением

      • Дедуктивное умозаключение – умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.
        Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами A₁, A₂, …, Aₙ, а заключение – буквой B, то схематично само умозаключение можно представить так: A₁, A₂, …, Aₙ ⇒ B.

      • Неполная индукция – умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса

        • пример: рассмотрим такие выражения: 3 + 5 и 3 ⋅ 5; 2 + 7 и 2 ⋅ 7; 4 + 8 и 4 ⋅ 8. Видим, что 3 + 5 < 3 ⋅ 5; 2 + 7 < 2 ⋅ 7; 4 + 8 < 4 ⋅ 8, т.е. для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что их сумма меньше их произведения. И на основании того, что некоторые числа обладают указанным свойством, можно сделать вывод о том, что этим свойством обладают все натуральные числа, т.е. (∀a, b ∈ N) [a + b < a ⋅ b] (для любых двух натуральных чисел a и b, их сумма меньше их произведения). Но это утверждение ложно, в чем можно убедиться с помощью контрпримера: числа 1 и 2 – натуральные, но сумма 1 + 2 не меньше, чем произведение 1 ⋅ 2.

      • Аналогия – умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

        • пример: ученик установил, что число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Затем, действуя по аналогии, сделал вывод: число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4. Чтобы убедиться в ложности полученного вывода, достаточно привести контрпример: число 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8.

    • Схемы дедуктивных умозаключений

      • Правило заключения

        • A(x)⇒B(x), A(a) / B(a)​

      • Правило отрицания

        • пример умозаключения, выполненного по правилу отрицания: если запись числа x оканчивается цифрой 5, то число x делится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5.

      • Правило силлогизма

        •  пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма: если число x кратно 12, то оно кратно 6. Если число x кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число x кратно 12, то оно кратно 3.

    • Способы математического доказательства

      • доказательство – это логическая операция, в процессе которой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

        • пример: требуется доказать, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он – прямоугольник. Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произвольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360°, то и в данном она составляет 360°. Сумма трех прямых углов равна 270° (90° ⋅ 3 = 270°), и, значит, четвертый имеет величину 90° (360° - 270° = 90°). Если все углы четырехугольника прямые, он – прямоугольник. Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать

      • Прямое доказательство утверждения A ⇒ В – это построение цепочки дедуктивных умозаключений, выполняемых последовательно от А к В с соблюдением правил логики и с помощью системы утверждений, истинность которых доказана.

      • Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему A ⇒ B. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (B) ложно, а следовательно, его отрицание истинно. 

      • Полная индукция – такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.